Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene:

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,
 

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

En definitiva,

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Derivada de la función tg x

si f(x) = sen x,    f ' (x) = cos x
si g(x) = cos x,  g ' (x) = - sen x

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

Por tanto,

Derivada de la función sec x

Si f(x) = 1,            f ' (x) = 0
Si g(x) = cos x,   g ' (x) = - sen x

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

                                          (sec x)' = sec x · tg x

Derivada de la función cosec x

Si f(x) = 1,            f ' (x) = 0
Si g(x) = sen x,   g ' (x) = cos x
Por la derivada de un cociente,

 (cosec x)' = - cosec x · cotg x  

Derivada de la función cotg x

Si f(x) = cos x,    f ' (x) = - sen x
Si g(x) = sen x,  g ' (x) = cos x

Por tanto,

 

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Llamando f(x) = x cos x - 2,
f ' (x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x
(la derivada de 2 es cero por ser una constante)

 Si g(x) = x²,   g ' (x) = 2 x

Resolución:

Si f(x) = x tg x - cos x,
f ' (x) = 1 · tg x + x (1 + tg²x) - (- sen x) = = tg x + x (1 + tg²x) + sen x

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como  , para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena.

REGLA DE LA CADENA
 
Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

entonces la función compuesta

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Calcular la derivada de la función h(x) = sen x².

Resolución:

La función sen x² es una función compuesta de otras dos f(x) = x²  y g(x) = sen x.

Al ser g(x) = sen x, g ' (x) = cos x,
por tanto g ' [ f(x) ] = cos f(x) = cos x²

 Por la regla de la cadena,

h ' (x) = g ' [ f(x) ] · f ' (x) = 2x cos x²

Resolución:

De g(x) = x³, se deduce
g ' (x) = 3x². En consecuencia,

 
 

Por la regla de la cadena,

 

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = x^m es f'(x) = m · x^{m - 1}.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)^m  
aplicando la regla de la cadena, será:     [u(x)^m] ' = m · u(x)^{m - 1} · u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,  

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de f(x) = (x² + 1)³.

Resolución:

Si u = x² + 1, u' = 2x

En este caso m = 3

f '(x) = 3 (x² + 1)₂ · 2x = 6x (x² + 1)²
 

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

Ejercicio: cálculo de derivadas
 
Resolución:

Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

Se aplica la regla de la cadena:

2.- Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |

Resolución:
u = sen x; u' = cos x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una
función f(x) = a^u y para otra g(x) = e^u,

                                   f'(x) = (a^u ) ' = u' · a^u · ln a

                                         g'(x) = (e^u ) ' = u' · e^u

Ejercicio: cálculo de derivadas

1 Calcular la derivada de f(x) = 4^{x sen x}

Resolución:

Llamando u = x · sen x,     u' = 1 · sen x + x cos x

                        f '(x) = (4^{x sen x} ) ' = (sen x + x cos x) · 4^{x sen x} · ln 4

Resolución:

 

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

Ejercicio: cálcular la derivada

Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)

Resolución:

Si u = sen x, u' = cos x

f '(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u =
cos x · cos(sen x)

Hallar la derivada de g(x) = sec (x² - 1)

Resolución:

u = x² - 1; u' = 2x

g '(x) = (sec(x² - 1))' = u' · sec u · tg u =

2x · sec(x² - 1) · tg(x² - 1)

Resolución:

Llamando u = sen x², hay que derivar
sen³x² = u³.

Por la regla de la cadena, la derivada de u³ es (u³ )' = 3 · u² · u'

Llamando v = x²; u = sen v.

u' = v' · cos v = 2x · cos x²

Finalmente, h'(x) = (sen³x²)' = 3u² · u' =
3 · sen²x² · 2x · cos x² =
= 6x · sen²x² · cos x²

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.

Derivada de la función inversa

Si una función y = f(x) admite una función
inversa ƒ^{- 1} y la función f(x) es derivable
en un punto x₀, entonces la función ƒ^{- 1} es derivable en el punto f(x₀).

En virtud de este teorema, la función x^1/n es derivable por ser la función inversa de xⁿ:

Como consecuencia, al ser la función x^m derivable para cualquier número entero m, como ya se ha visto, la función x^m/n es derivable por ser composición de dos funciones derivables:

 

Derivada de la función x^1/n

Sea u = x^1/n; elevando a n, uⁿ = x.

Derivando ambos miembros se observa que

Despejando u',

Derivada de la función x^m/n

Sea f(x) = x^m/n
Se eleva a n, f(x)ⁿ = x^m
Se deriva:

Pero f(x)^{n - 1} = (x^m/n )^{n - 1}

Regla de la cadena para las funciones u^1/n y u^m/n

Si en las dos funciones anteriores se tiene una función dependiente de la variable x, u(x), en lugar de la función x, se obtienen las siguientes derivadas:

Para obtener estas igualdades, basta aplicar la regla de la cadena.

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

 Se trata de calcular una derivada de la forma u^1/2.

Si u = x² + sen x, u' = 2x + cos x

Obsérvese que en este caso n = 2
 

Resolución:

FUNCIONES TRIGONOM. INVERSAS

distintos en [- 1, 1].

la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x.

        x ---> f (x) = sen x ---> f^-1
[f (x)] = f^-1 (sen x) = arc sen (sen x) = x

Derivada de la función arc sen x

Si y = arc sen x = f ^{- 1}(x), aplicando f,
f(y) = f ( f ^{- 1}(x)) = x, es decir, sen y = x.

De la conocida fórmula sen² y + cos² y = 1, cos² y = 1 - sen² y --->

Derivada de la función arc cos x

Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x.

De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,



 

Derivada de la función arc tg x

La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x.

y = arc tg x,  x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc cotg x

La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x.
Si y = arc cotg x,  x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc sec x

Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x.

y = arc sec x,  x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,

         1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y  (1)

Derivada de la función arc cosec x
Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior,
           y = arc cosec x,  x = cosec y
Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y  (1)

REGL. CADENA TRIG. INVERSAS
 
Si en cada una de las funciones anteriores se tuviese una función de x, u(x), en lugar de la función x, las derivadas de las nuevas funciones compuestas se convierten, por la regla de la cadena en:

Ejercicio: cálculo de derivadas
 

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución: